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7. 최소 비용 신장 트리(MST) 알고리즘
- 신장 트리 (Spanning Tree)
- 최소 비용 신장 트리 (MST)
- Kruskal MST 알고리즘
- Prim MST 알고리즘
1. 신장 트리 (Spanning Tree)
1.1. Spanning Tree
그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리
- Spanning Tree는 그래프의
최소 연결 부분 그래프이다- 트리의 특수한 형태로 모든 정점들이 연결되어 있고 사이클은 존재하지 않는다
n개의 정점을 정확히n-1개의 간선으로 연결한다BFS, DFS를 이용하여 그래프에서 Spanning Tree를 찾을 수 있다- 하나의 그래프에는 많은 Spanning Tree가 존재한다
2. 최소 비용 신장 트리 (MST, Minimum Spanning Tree)
2.1. MST
Spanning Tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리
- 각 간선의 가중치가 동일하지 않을 때, 단순히 가장 적은 간선을 사용한다고 최소 비용이 아니다
MST는 간선의 가중치를 고려하여 최소 비용을 선택하는 알고리즘이다- 즉, 그래프에 있는 모든 정점을 선택하고 가장 적은 수의 간선과 비용으로 Spanning Tree 를 구성하는 것이다
3. Kruskal MST 알고리즘
3.1. 이론
탐욕적인 방법(Greedy) 을 이용하여 가중치 그래프의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 방법
- MST 가
최소 비용의 간선으로 구성됨,사이클을 포함하지 않음의 조건에 근거하여 각 단계에서 사이클을 이루지 않는 최소 비용 간선을 선택한다 - 간선 선택을 기반으로 하는 알고리즘이다
- 이전 단계에서 만들어진 신장 트리와는 상관없이 무조건 최소 간선만을 선택하는 방법이다
3.2. 과정
-
그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다
-
정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다
- 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다
- 사이클을 형성하는 간선을 제외한다
- 해당 간선을 현재의 MST의 집합에 추가한다
주의할점
간선을 추가할 때 사이클이 생성되는지를 체크해야함
- 새로운 간선이 이미 다른 경로에 의해 연결되어 있는 정점들을 연결할 때 사이클을 형성함
- 즉, 추가할 때 새로운 간선의 양끝 정점이 같은 집합에 속해 있으면 사이클이 형성됨
Union-Find 알고리즘을 이용하여 사이클 생성 여부를 확인할 수 있다!
시간 복잡도
Union-Find 알고리즘을 이용하면 Kruskal 알고리즘의 시간 복잡도는 간선들을 정렬하는 시간에 좌우된다. 즉, 간선 N개를 효율적으로 정렬한다면
O(N logN)의 시간 복잡도를 갖는다.
3.3. 소스 코드 (C++)
// Krusal
typedef struct kruskal {
int from,to,val;
} Edge;
bool comp(Edge e1, Edge e2){
return e1.val < e2.val;
}
class Kruskal {
private:
int parent[MAX+1];
int res;
vector<Edge> edge;
public:
// 생성자
Kruskal(){
for(int i=1; i<=MAX; i++){
parent[i] = i;
}
go();
}
// Union
void merge(int u,int v){
u = find(u);
v = find(v);
if(u == v) return;
parent[u] = v;
}
// Find
int find(int u){
if(parent[u] == u) return u;
else return parent[u] = find(parent[u]);
}
// GO
void go(){
int V,E;
cin >> V >> E;
// 간선의 정보 입력
for(int i=0; i<E; i++){
Edge e;
cin >> e.from >> e.to >> e.val;
edge.push_back(e);
}
// 간선을 가중치로 오름차순 정렬
sort(edge.begin(),edge.end(),comp);
for(int i=0; i<E; i++){
// 두 정점이 사이클을 형성하지 않는다면
if(find(edge[i].from) != find(edge[i].to)){
// 가중치값 더해줌
res += edge[i].val;
// MST 형성
merge(edge[i].from, edge[i].to);
}
}
cout << res << "\n";
}
};
4. Prim MST 알고리즘
4.1. 이론
시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장 해나가는 방법
4.2. 과정
-
시작 단계에서는 시작 정점만이 MST 에 포함된다
-
앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다
- 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다
-
위의 과정을 트리가
N-1개의 간선을 가질 때까지 반복한다
시간 복잡도
1차 반복문이 정점의 수인 n만큼 반복하고, 2차 반복문이 n번 반복된다. 따라서 Prim 알고리즘은
O(N^2)의 시간 복잡도를 갖는다. 만약, 우선순위 큐를 사용한다면O(E logV)의 시간 복잡도를 갖는다.따라서 그래프 내의 간선의 숫자가 적은
희소 그래프(Sparse Graph)의 경우Kruskal 알고리즘이 유리하고, 그래프 내의 간선의 숫자가 많은밀집 그래프(Dense Graph)의 경우Prim 알고리즘이 유리하다.
4.3. 소스 코드 (C++)
// Prim
typedef pair<int, int> pii;
class Prim {
private:
bool visited[MAX+1];
vector<pii> adj[MAX];
public:
Prim(){
memset(visited, false, sizeof(visited));
go();
}
int prim(int start){
int res = 0;
visited[start] = true;
// 우선순위 큐
priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> pq;
// 시작정점의 간선들 삽입
for(int i=0; i<adj[start].size(); i++){
pq.push(pii(adj[start][i].first ,adj[start][i].second));
}
while(!pq.empty()){
int curr = pq.top().first;
int cost = pq.top().second;
pq.pop();
if(!visited[curr]){
visited[curr] = true;
res += cost;
for(int i=0; i<adj[curr].size(); i++){
pq.push(pii(adj[curr][i].first ,adj[curr][i].second));
}
}
}
return res;
}
void go(){
int V,E;
cin >> V >> E;
// 간선의 정보 입력
for(int i=0; i<E; i++){
int from, to, val;
cin >> from >> to >> val;
adj[from].push_back(pii(to,val));
adj[to].push_back(pii(from,val));
}
cout << prim(1) << "\n";
}
};
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